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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Para cada una de las siguientes funciones, halle el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Determine cuáles de ellos son absolutos. Escriba la ecuación de las asíntotas. Determine, si la cuenta lo permite, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión. Con la información obtenida haga un gráfico aproximado de la función
o) $f(x)=\sqrt{x-2}-5 \ln (x-2)$
o) $f(x)=\sqrt{x-2}-5 \ln (x-2)$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función siguiendo la estructura que vimos en las clases de estudio de funciones.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
Teniendo en cuenta las restricciones que presenta, el dominio va de $(2,+\infty)$
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Veamos el comportamiento cuando $x$ tiende a $2$ por derecha, para ver si tenemos o no asíntota vertical:
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$\lim_{x \to 2^+} \sqrt{x-2}-5 \ln (x-2) = +\infty$
No te olvides que $\ln(0^+) = -\infty$ y después regla de signos!
Por lo tanto, en $x = 2$ tenemos una asíntota vertical.
- Asíntotas horizontales: Tomamos el límite cuando $x$ tiende a $+\infty$
$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-2}-5 \ln (x-2) $
Ojo acá, regla de signos y esto te queda un "infinito menos infinito". Sacamos factor común algo para forzar a que nos aparezca un cociente que sepamos resolver por L'Hopital. Por ejemplo, si sacás factor común $\ln(x-2)$ te queda:
$\lim_{x \to +\infty} \ln (x-2) \cdot ( \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)} - 5) $
Ahora adentro del paréntesis nos quedó un cociente con una indeterminación infinito sobre infinito, esta de acá:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)}$
Aplicamos L'Hopital:
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{\frac{1}{x-2}} = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} \cdot (x-2) = 2\sqrt{x-2} = + \infty$
Entonces, volviendo a nuestro límite:
$\lim_{x \to +\infty} \ln (x-2) \cdot ( \frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x-2)} - 5) = +\infty$
Por lo tanto, $f$ no tiene asíntota horizontal.
3) Calculamos $f'(x)$:
$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{5}{x-2} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} - \frac{5}{x-2} = 0$
Paso uno de los términos para el otro lado:
$\frac{1}{2\sqrt{x-2}} = \frac{5}{x-2} $
Paso multiplicando el $x-2$ del denominador:
$\frac{x-2}{2\sqrt{x-2}} = 5 $
Usando reglas de potencias:
$\frac{\sqrt{x-2}}{2} = 5 $
$\sqrt{x-2} = 10$
Elevo al cuadrado ambos miembros
$x-2 = 100 $ (sólo me estoy quedando con la solución positiva, porque $x-2$ es mayor a cero siempre)
$x = 102$
Por lo tanto $x=102$ es nuestro punto crítico
5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) $2 < x < 102$
b) $x > 102$
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos:
a) Para $2 < x < 102$
$f'(x) < 0$. En este intervalo, $f$ es decreciente.
b) Para $x > 102$
$f'(x) > 0$. En este intervalo, $f$ es creciente.
Te dejo acá cómo me quedó el gráfico en GeoGebra: